Եռանկյուններ: Կրկնենք անցածը

55. P=AB+BC+AC=12+7+14=33,
P=MN+NK+MK=3+20+18=41
41-33=8
Պատ.՝ MNK Մեծ է 8-ով
56. 55:5=11
11×2=22
22:2=11
Պատ.՝ 22,22,11
57. 52-7=45
45:3=15
15+7=22
Պատ.՝ 15,15,22
58. 2+4+5=11
66:11=6
6*2=12
6*4=24
6*5=30
Պատ.՝ 12,24,30
59. 7+5+3=15
120:15=8
8*7=56
8*5=40
8*3=24
Պատ.՝ 56,40,24
60. 6x=30
x=5
6*5=30
3*5=15
4*5=20
P=30+15+20=65
Պատ.՝ 65
61. AB=MN=6
BC=NK=7
AC=MK=10
Պատ.՝ MN=6, NK=7, MK=10

81. AF=7:2=3.5
BD=6:2=3
CE=10:2=5
Պատ.՝ AF=3.5, BD=3, CE=5

86. BAM=66:2=33
BCK=72:2=36
NBC=42:2=21
Պատ.՝ BAM=33, BCK=36, NBC=21

Երկրորդ մակարդակ

1.

1) Գտնել եռանկյան անկյունները

c=60 B=93 A=27
2) A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=4,2սմ, BC=8,4սմ: Գտնել <B-ն:
2.60
3)3) Որքա՞ն կարող է լինել AB հատվածի երկարությունը, եթե նրա ծայրակետերը միացված են բեկյալով, որի օղակների երկարություններն են՝ 3 սմ, 12սմ, 1,5սմ:
AB<16.5

Բեկյալի երկարությունը

1) Նկարում հատվածների միջոցով պատկերված են թվանշաններ: Դրանցից որո՞նք են՝

1) պարզ բեկյալ, բ, գ, դ, զ, ը

2) պարզ փակ բեկյալ: ա ,

2) Նվազագույնը քանի՞ օղակ ունի՝

ա) բեկյալը, 2

բ) փակ բեկյալը: 3

3) Առնվազն քանի՞ օղակ ունի բեկյալը, եթե այն ունի մի ուղղի վրա գտնվող ոչ հարևան օղակներ: Գծագրեք այդպիսի բեկյալ:

Հնարավոր չի

Լրացուցիչ(տանը)

4) Տրված են ուղիղ և երկու կետ: Հնարավո՞ր է, արդյոք, այդ կետերը միացնել այնպիսի բեկյալով, որը չհատի տրված ուղիղը: Դիտարկեք բոլոր հնարավոր դեպքերը:

Հնարվոր է հա նարավոր է չե

5) Տրված է ուղիղ: Պատկերեք n օղակ ունեցող բեկյալ (n=2, 3, 4, 5, 6), որի յուրաքանչյուր  օղակը ուղղով տրոհվի երկու հատվածի:

6) Որքա՞ն կարող է լինել AB հատվածի երկարությունը, եթե նրա ծայրակետերը միացված են բեկյալով, որի օղակների երկարություններն են՝

ա) 6 սմ, 8սմ, 10սմ,
24

բ) 2սմ, 3,1սմ և 5,3սմ:
10.4

Զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը

1) a և b զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը 3 սմ է, իսկ a և c զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը՝ 5 սմ: Գտեք b և c ուղիղների հեռավորությունը:
5-3=2
5+3=8

2) AB ուղիղը զուգահեռ է CD ուղղին: Գտեք այդ ուղիղների հեռավորությունը, եթե <ADC=30⁰, AD=6սմ:
3սմ որովհետև 30 աստիճան ունեցող անկյան դիմացի էջի հավասար է ներքնագծի կեսի իսկ երքնածիգը 6sm-է
6:2=3

Առաջադրանքներ (տանը)

3) Ի՞նչ է ներկայացնում հարթության այն բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք հավասարահեռ են տրված երկու զուգահեռ ուղիղներից:

ուղիներ մեջի հեռավորությունը

5) Ի՞նչ է ներկայացնում հարթության այն բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք գտնվում են տրված ուղղից տրված հեռավորության վրա:
Զուգահեռ ուղիներ

Հատվածի միջնուղղահայացի և անկյան կիսորդի հատկությունները

1) Ապացուցեք, որ հավասարասրուն եռանկյան հիմքի միջնակետը հավասարահեռ է սրունքներից:

Թեորեմ 1: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից:

2) ABC հավասարասրուն եռանկյան AB հիմքի վրա վերցված է M կետ, որը հավասարահեռ է սրունքներից: Ապացուցեք, որ CM-ը ABC եռանկյան բարձրությունն է:

փոքր եռանկյունները հավասար են հետևաբար C միջնակետ է հետևաբար CM բարձրություն է:

3) Ուղիղն անցնում է հատվածի միջնակետով: Ապացուցեք, որ հատվածի ծայրակետերը հավասարահեռ են այդ ուղղից

Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները

1) Լրացնել բաց թողածը.

ա) ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է ներքնաձիգ

բ) ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է 90^o

գ) ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30⁰-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսի

դ) ուղղանկյուն եռանկյան մեծ կողմը դա ներքնաձիգն է:

2) ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյուններից մեկը հավասար է 60⁰: Փոքր էջի և ներքնաձիգի գումարը հավասար 30սմ: Գտնել փոքր էջն ու ներքնաձիգը:

a=b:2
3a=30
a=30:3=10
ներքնաձիգ=20
Փոքր էջ=10

3) AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AF կիսորդը և AH բարձրությունը: Գտեք AHF եռանկյան անկյունները, եթե <B=112⁰:

Առաջադրանքներ (տանը)

4) ABC և A₁B₁C₁եռանկյունների մեջ A և A₁անկյուններն ուղիղ են, իսկ BD-ն և B₁D₁-ըկիսորդներ են: Ապացուցեք, որ ABC=A₁B₁C₁,եթե <B=<B₁ և  BD=B₁D₁:

Ըստ երկրորդ հայտանիշի եթե մի կողմը և նրան կից անկյունները հավասար են եռանկյունները հավասար են այստեղ B=B1 A=A1 նշանակում է 180-(B+A)=180-(B1+A1) D=D1 նշանակում է BD =B1D1 և <B=<B1, <D=<D1

5)

AB=CD քանի որ եռ․BAP=CDK` ըստ առաջին հայտանիշի եթե երկու կողմերը և նրանց կազմած անկյունը հավասար է մյուս եռանկյան երկու կողմերի և նրանց կազմած անկյունը եռանկյունները հավասար էն այստեղ BP=CK , AP=KD ,<P=<K=90^o

6)

AD=CB քանի որ եռ․ ABC=BDA` ըստ երկրորդ հայտանիշի , եթե մի կողմը և նրան կից անկյունները հավասար են եռանկյունները հավասար են այստեղ AB ընդհանուր կողմ է <ABC=<DAB և 90-<ABC=90-<DAB

7)

BK բարձրությունը կազմում է ուղիղ անկյուն իսկ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30⁰-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսի այդպես մենք ստանում ենք, որ <C=30⁰
<B=180-(70+30)=80⁰

Ինքնաստուգում

Առաջին տարբերակ

1) Վերհիշի՛ր եռանկյունների հավասարության առաջին, երկրորդ և երրորդ հայտանիշները:

Հայտանիշ 1․

Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանց կազմած անկյունը համապատասխանաբար հավասար է մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանց կազմած անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Հայտանիշ 2․

Եթե մի եռանկյան կողմն ու նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին ու նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Հայտանիշ 3․

Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

2) Շարունակի՛ր նախադասոթյունները.
ա. Եռանկյան անկյունների գումարը 180^o է:
բ. Եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց ընկած է ավելի մեծ անկյուն:
գ. Ուղղանկյուն եռանկյան 30⁰ -ի դիմացի էջը հավասար է  ներքնաձիգի կեսին:
դ. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են
ե. Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյունները հավասար են 60⁰

3) Գտնել եռանկյան անկյունները

<B=180-87=93
<C=180-120=60
<A=180-93-60=27
4) A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=4,2սմ, BC=8,4սմ: Գտնել <B-ն:
<B=60

1) Վերհիշի՛ր եռանկյունների հավասարության առաջին, երկրորդ և երրորդ հայտանիշները:

Հայտանիշ 1․

Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանց կազմած անկյունը համապատասխանաբար հավասար է մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանց կազմած անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Հայտանիշ 2․

Եթե մի եռանկյան կողմն ու նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին ու նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Հայտանիշ 3․

Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

2) Շարունակի՛ր նախադասոթյունները.
ա. Եռանկյան անկյունների գումարը
բ. Եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց ընկած է …
գ. Ուղղանկյուն եռանկյան 30⁰ -ի դիմացի էջը հավասար է….
դ. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները …..
ե. Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր անկյունները …

3) Գտնել եռանկյան անկյունները

4) ABC հավասարակողմ եռանկյան BC կողմի D միջնակետից տարված է AC ուղղին ուղղահայաց՝ DM-ը: Գտեք AM-ը, եթե AB=10սմ:

Ուղղանկյուն եռանկյունների որոշ հատկություններ

1) ABC-ն C ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն է, <A=37⁰: Գտնել <B-ն:
<C=<A
37+90=127
180-127=53

2) ABC-ն A ուղիղ անկյունով հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտեք մյուս անկյունները:

90/2=45

3)  CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտեք <ECF-ը, եթե <D=54⁰:

180-54=126

126:2=63

<C=<E=63

63+90=153

180-153=27

Առաջադրանքներ(տանը)

4) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 7,6սմ է, իսկ եռանկյան սրունքը 15,2սմ: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:

5) ABC հավասարակողմ եռանկյան BC կողմի D միջնակետից տարված է AC ուղղին ուղղահայաց՝ DM-ը: Գտեք AM-ը, եթե AB=10սմ:

5

6) A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=4,2սմ, BC=8,4սմ: Գտնել <B-ն:

Եռանկյան անհավասարությունը

1) Կարո՞ղ է գոյություն ունենալ եռանկյուն հետևյալ կողմերով.

ա) 1մ, 2մ և 3մ, ոչ

բ) 1,2դմ, 1դմ և 2,4դմ ոչ

2) Հավասարասրուն եռանկյան կողմերից մեկը 25 սմ է, իսկ մյուսը՝ 10սմ: Դրանցից ո՞րն է հիմքը:
25+10>25
25+10>25
25+25>10
Պատ՝10 սմ

Լրացուցիչ(տանը)

3) Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 25սմ է, իսկ երկու կողմերի տարբերությունը՝ 4 սմ, իսկ նրա արտաքին անկյուններից մեկը սուր է: Գտեք եռանկյան կողմերը:
25-4=21
21:3=7
7+4=11

11+7>7
11+7>7
7+7>11

4) Գտեք հավասարասրուն եռանկյան կողմը, եթե նրա մյուս կողմերը հավասար են՝

ա) 5սմ և 3սմ,

5 սմ և 3սմ

բ) 8սմ և 2 սմ:
8 սմ

Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև

1) Համեմատեք ABC եռանկյան անկյունները և պարզեք, թե A անկյունը կարո՞ղ է, արդյոք,  լինել բութ, եթե՝

ա) AB>BC>AC
Ոչ
բ) AB=AC<BC: այո

2) Համեմատեք ABC եռանկյան կողմերը, եթե՝ 

ա) <A > <B > <C
1.AB
2.AC
3.BC

բ) <A > <B=<C:

1.AB=AC
2.BC

3) ABC հավասարասրուն եռանկյան հիմքին զուգահեռ ուղիղը M և N կետերում հատում է AB և AC սրունքները: Ապացուցեք, որ AMN եռանկյունը հավասարասրուն է:

Առաջադրանք (տանը)

4) ABC եռանկյան C գագաթով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է AA1 կիսորդին և AB ուղիղը հատում է D կետում: Ապացուցեք, որ AC=AD:

AA1 զուգահեռ է CD նշանակում է որ CD էլ է կիսորդ նշանակում է նրանք հավասար էն

5) ABC եռանկյան BB1և CC1 կիսորդների հատման կետով տարված է ուղիղ, որը զուգահեռ է BC ուղղին և AB ու AC կողմերը հատում է, համապատասխանաբար, M և N կետերում: Ապացուցեք, որ MN=BM+CN: